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【話題】東大入試に求められる「数学のセンス」とは?「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」

1:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:00:20.68 ID:Y3T6D/1H9



■東大入試に求められる「数学のセンス」とは?

 「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。

 そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。

■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」

円周率を計算!?

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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。

 3.14159……と延々と(周期性がなく)続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。

 このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大? なぜでしょうか。

 約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。

 日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘(たけべ・かたひろ)が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。

 この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。

 話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。

 一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。

 西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。

 さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい!

 ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、OKとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。

 この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。


図で、三角形OATは正三角形の半分の直角三角形。

 OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理(ピタゴラスの定理)により、OTの長さが分かります。OK=1から、KTの長さが計算でき、さらに、直角三角形KTAに三平方の定理を用いてAK、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。

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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。

 このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。

https://diamond.jp/articles/-/213733
★1が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568854997/


 



元スレ
http://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568865620/

4:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:02:06.90 ID:NWv0iI1u0



パターン暗記してればこの問題も解ける
受験数学に閃きなど必要ない




5:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:02:51.35 ID:tZ/ce9Jh0



そもそも円周率の求め方を忘れた
いつ習ったっけ?




114:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:44:57.84 ID:DSbq/cER0



>>5
習ってないだろ。
このようなレスが出てくることがこの問題が良問であることを示している。




292:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 15:31:46.03 ID:o3iLZxTT0



>>114
小学生の時に正三角形と正方形でやった




349:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 16:56:21.81 ID:hjQbds9C0



>>114
円周率はじめて出てくるときに、定義も出てきたぞ。円周÷直径




330:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 16:30:46.53 ID:m9xlAwUt0



>>5
円周率は円の外周が直径の何倍かということだから、
円を書いて、直径と外周を測って割り算すればいいんだよ




7:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:03:43.15 ID:qNFmA4sC0



>>1
円を転がせ




16:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:07:39.83 ID:SUKl6BYE0



>>7
これな




263:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 15:10:58.24 ID:pwNoGydR0



>>7
証明にはならないかと
だから3ではなく3.05にしているんだと文系脳の俺が言ってみる




9:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:04:40.87 ID:H0eJhcC60



2が立つ速さ異常じゃね
記者の仕事まちまちすぎんだろ




23:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:11:40.30 ID:msvRAoYb0



多角形の頂点の数を無限に増やしていくと、本当に円になるの?
物理学的にはアウトだよ
数学の空想論
けど、線と円の関係を極限で説明する方法は悪くはない




156:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 14:03:43.51 ID:CDRVGUXrO



>>23
物理的には原子一つ一つとかを頂点にした多角形が限度じゃないの。
数学の無限て、その先まで無限に続く。




230:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 14:54:51.12 ID:xtmMkD050



>>23
正多角形な




261:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 15:09:54.01 ID:j9JtDbUaO



>>230
正多角形である必要ないだろ
凸多角形なら問題ない




25:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:11:49.41 ID:NzaJoIRL0



まだやるのかよw
円周率は3だって言ってるだろ
それ以上でも以下でも無い
『3』だ。




29:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:12:24.93 ID:0DRowJES0



俺が大きいと言ったら大きいんだよ。

何か文句あるか?




32:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:13:03.84 ID:Wu1M4f7V0



前に、これを電車で見かけたとき、八角形で試して
職場が秋葉原なのに神田まで気づかなかったな




34:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:13:12.75 ID:eTj3oudk0



そもそも円周率そのものが無意味な存在だと気づけよ数学バカ
オカマが「自分を認めろ」と大声で叫んでる今と同じだと気づけよ数学バカ
一般人からすりゃどうでもいい存在だろ自覚しろ




56:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:20:34.68 ID:rtL1WJYX0



>>34
円周と直径の比率が一定という事実は最重要だと思うが

何が無意味なのか説明せよ




37:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:14:48.49 ID:asntOfbb0



サインコサインっていつ習った?
ゆとりの自分は高校で習ったんだが、上の世代で中学で習ったという奴もいるんだよな
どの世代はいつ習ったんだ?




40:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:15:44.55 ID:/U7y+ZaY0



次は自然対数が2.72より小さいことを証明だな




44:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:16:49.25 ID:r65R2hDZ0



六角形で考えると円周率は3
そこからスタート




48:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:17:52.94 ID:vd1j7gM00



さすがフィールズ賞を大量に出してる大学だな




49:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:18:16.12 ID:KfGzBiKS0



東大入試レベルだったらπ=3となるリーマン曲面を求めその時のeを計算せよくらいの問題でないと手ごたえ感じないだろう




50:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:18:18.69 ID:do+7gTKH0



その”.05″ってのはなんやねん




55:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:20:23.70 ID:R2sqTqM40



>>50
「正六角形の周囲よりは長いから」で終わらせないためだろ。




59:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:20:50.36 ID:r4d2W3bt0



>>50
3以下って証明するのは割りと簡単だが、そのわずかな部分が面倒なんだよ




52:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:19:07.35 ID:4IyTSF3T0



e は級数でいいやろ
どこまで計算するかがたいへんかもしれんが




57:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:20:37.48 ID:ySbdYirS0



>>1
ABが1である
という証明をやらないと減点されるんじゃないかな
なぜ正三角形だと分かるのか




58:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:20:48.58 ID:6bjKDWBf0



日本語で頼むわ




60:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:20:54.97 ID:FcfTtGfW0



大学への数学ってまだあるのかね




63:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:21:29.67 ID:BLTKaMKY0



>>60
あるよ




69:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:22:41.61 ID:R2sqTqM40



この種の「証明せよ」ってゆーのは、何を前提にしていーのかが曖昧だと思う。




76:名無しさん@2ろぐちゃんねる : 2019/09/19(木) 13:23:54.29 ID:0yUeFX650

コメント一覧

  1. 名無しさん@2ろぐちゃんねる より:

    このπ>3.05の証明問題は円周率が3になるというテレビのデマに釣られた出題でなければね…

  2. 名無しさん@2ろぐちゃんねる より:

    ※1
    いやそれは全然関係ない
    別に3.2>πでもいいんだから

  3. 名無しさん@2ろぐちゃんねる より:

    円周率の定義を習ってないって・・・
    「円周」と直径の比「率」だから円周率
    絶対に小学校で習う

コメント

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